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Comme, en vertu de l’équation (6), $z$ est la tangente tabulaire de l’angle que fait la courbe, en chacun de ses points avec son rayon vecteur, il s’ensuit que ${\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}$ est le sinus de cet angle, indépendamment du signe de $z\,;$ l’équation (7) signifie donc que le moment de la tension, pris par rapport au centre fixe, est une quantité constante.

Si l’on résout l’équation (7) par rapport à $z,$ et qu’on remplace ensuite $z$ par sa valeur (6), on trouvera

$\operatorname {d} u=\pm {\frac {h\operatorname {d} r}{\sqrt {(Tr)^{2}-h^{2}}}}.\qquad$(8)

Dans cette expression de $\operatorname {d} u,$ il faudra prendre le signe supérieur pour toute la portion de la courbe où le rayon vecteur croît en même temps que l’angle qu’il fait avec l’axe. Ce rayon sera un maximum ou un minimum, et aura sa direction normale à la courbe, quand on aura $\left(Tr^{2}-h^{2}\right)=0,$ ou $Tr=\pm h.$

En intégrant l’équation (8), dans laquelle les deux variables sont séparées, an aura l’équation polaire de la courbe cherchée.

Quant à sa rectification, en substituant l’expression de $\operatorname {d} u$ dans la formule $\operatorname {d} s={\sqrt {\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} u^{2}}},$ on trouvera à intégrer

$\operatorname {d} s=\pm {\frac {Tr\operatorname {d} r}{\sqrt {(Tr)^{2}-h^{2}}}}.\qquad$(9)

Examinons présentement le cas particulier ou la force $R$ agit en raison inverse du quarré de la distance. Faisons, en conséquence, $R={\frac {f}{r^{2}}},\ f$ étant une constante, qui devra être supposée positive ou négative, suivant que la force $R$ sera supposée répulsive ou attractive. Les formules (4) et (9) deviendront alors