doivent appartenir à une même ligne droite ; or, le premier de ces trois points est évidemment le pôle de le second le pôle de et le troitième le pôle de donc les trois droites et doivent se couper au même point, ce qui revient à dire que le point d’intersection de et est en ligne droite avec les points et les sommets des deux triangles sont donc aussi les sommets d’un hexagone dans lequel les points de concours des directions des côtés opposés appartiennent tous trois à une même ligne droite ; donc, par la première des deux propositions ci-dessus, si cinq de ces sommets sont sur une même circonférence, le sixième y sera également.
On peut déduire de là le théorème suivant, dû à M. Brianchon :
THÉORÈME XI. Deux triangles circonscrits à une même conique sont aussi inscrits à une même conique.
THÉORÈME XII. Deux triangles étant inscrits à un même cercle ; si cinq de leurs côtés sont tangens à une même circonfèrence, le sixième sera aussi tangent à cette circonférence.
Démonstration. Soient deux triangles inscrits au cercle et considérons l’hexagone formé avec les côtés de ces triangles ; il est aisé de s’assurer que, dans cet hexagone, les diagonales qui joignent les sommets opposés, concourent en un même point . En effet, dans l’hexagone inscrit au cercle les points de concours des directions des côtés opposés et et et doivent appartenir à une même droite ; donc la droite doit passer par le point de concours de et ce qui revient à dire que ces trois droites doivent se couper au même point donc les côtés de deux triangles inscrits à un même cercle sont en même temps côtés d’un hexagone dans lequel les diagonales qui joignent les sommets opposés concourent en un même point ; donc, par la dernière des deux propositions ci-dessus, si cinq de ces côtés sont tangens à une même circonférence, le sixième sera aussi tangent à cette circonférence.
