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ce corps est terminé. Renversons présentement le problème et proposons-nous de déterminer l’équation d’un corps au moyen de celle de la surface qui le termine^[1].

Soit $\operatorname {F} (x,y,z)=0$ l’équation de la snrface donnée ; d’après ce que nous avons déjà dit, l’équation cherchée $U=0$ devra renfermer $x,y,z,$ avec autant de paramètres variables $t,u,v,\ldots$ que l’on voudra admettre de mouvemens différens dans la génération du corps terminé par la surface donnée. De plus, cette équation devra être telle qu’en éliminant un premier paramètre entre elle et sa différentielle prise par rapport à ce paramètre, puis un second paramètre entre l’équation résultante et sa différentielle prise par rapport à celui-ci, et ainsi de suite, on parvienne enfin, après l’élimination du dernier paramètre, à l’équation donnée $\operatorname {F} (x,y,z)=0.$

On voit donc que le problème est d’abord indéterminé à raison du nombre des paramètres variables qu’on peut admettre dans la composition de la fonction $U\,;$ mais, lors même qu’on a statué sur le nombre de ces paramètres, il demeure encore indéterminé relativement à la forme de cette fonction qu’où peut choisir telle qu’on voudra, sous la seule condition d’y admettre, avec un coefficient arbitraire, un terme que les différentiations successives ne fassent pas disparaître, et dont on déterminera finalement le coefficient, en égalant le résultat de la dernière élimination à $\operatorname {F} (x,y,z).$

Cette grande indétermination du problème tient à ce qu’un corps peut être engendré d’une infinité de manières par une infinité de surfaces différentes. Ainsi, pour n’en citer qu’un exemple, si l’on

↑ Si, comme nous l’avons proposé ci-dessus, on veut employer à cela des inégalités, la chose deviendra extrêmement facile ; l’équation d’une surface étant $\operatorname {F} (x,y,z)=0,$ l’inégalité du corps qu’elle termine sera $\operatorname {F} (x,y,z)>0$ ou $\operatorname {F} (x,y,z)<0$ suivant qu’on voudra que le corps soit situé d’un côté ou de l’autre de la surface dont il s’agit.
J. D. G.

[1] Si, comme nous l’avons proposé ci-dessus, on veut employer à cela des inégalités, la chose deviendra extrêmement facile ; l’équation d’une surface étant $\operatorname {F} (x,y,z)=0,$ l’inégalité du corps qu’elle termine sera $\operatorname {F} (x,y,z)>0$ ou $\operatorname {F} (x,y,z)<0$ suivant qu’on voudra que le corps soit situé d’un côté ou de l’autre de la surface dont il s’agit.
J. D. G.

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