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$t^{2}+u^{2}+v^{2}=r^{2},$

ce qui réduira d’abord notre équation à

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(tx+uy+vz)=0.$

Tirant ensuite de l’équation de condition la valeur de $v$ pour la substituer dans celle-ci, elle deviendra

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(tx+uy)=2z{\sqrt {r^{2}-t^{2}-u^{2}}},$

puis, en chassant le radical,

$z^{4}+2\left(x^{2}+y^{2}-2tx-2uy+2t^{2}+2u^{2}-2r^{2}\right)z^{2}+\left(x^{2}+y^{2}-2tx-2uy\right)^{2}=0\,;$

équation équivalente à l’équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-4r^{2}+v^{2}=0\,;$

bien qu’elle soit beaucoup plus compliquée^[1].

Par des considérations analogues, on parviendrait à former l’équation des corps terminés par deux ou un plus grand nombre de

1. Cette différence paraît tenir à ce que l’une des équations exprime chacun des points du corps une infinité de fois, tandis que l’autre ne l’exprime qu’une fois seulement. Il est évident en effet que, dans le premier mode de génération, il peut passer par un même point une infinité de sphères de la série, tandis que, dans le second, il n’en peut passer qu’une seule par ce point.
   J. D. G.