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consécutifs du polygone proposé, et supposons qu’il soit question de le transformer en un parallélogramme équivalent dont $\mathrm {AB}$ soit un des côtés et dont un autre côté se terminant en $\mathrm {B}$ soit parallèle à une droite donnée.

Soit menée la droite indéfinie $\mathrm {B\eta ,}$ parallèle à la droite donnée. Joignons les milieux respectifs $\mathrm {B',C'}$ des côtés $\mathrm {BC,CD}$ par une droite se terminant en $\eta$ à $\mathrm {B\eta }$ et en $\theta$ à sa parallèle conduite par $\mathrm {D} \,;$ le parallélogramme $\mathrm {B\eta \theta D}$ sera équivalent au triangle $\mathrm {BCD.}$ Représentons ce parallélogramme par $P.$

En lui ajoutant le triangle $\mathrm {BED,}$ on formera le pentagone $\eta \mathrm {BED} \theta$ que l’on pourra (Problème I) transformer en un nouveau parallélogramme ayant $\mathrm {BE}$ pour un de ses côtés et un autre côté dirigé suivant $\mathrm {B\eta } \,;$ désignons ce nouveau parallélogramme par $Q.$

En lui ajoutant le triangle $\mathrm {BFE} ,$ sn formera un second pentagone que l’on pourra également (Problème I) transformer en un parallélogramme ayant $\mathrm {BF}$ pour un de ses côtés, et un autre dirigé suivant $\mathrm {B\eta .}$

En continuant de la même manière, on sera finalement conduit à construire un parallélogramme équivalant au polygone proposé, ayant $\mathrm {AB}$ pour un de ses côtés, et un autre côté dirigé suivant $\mathrm {B\eta ,}$ ainsi qu’il était requis.

Remarque. C’est à justifier cette construction que se réduit le théorème proposé ; lequel se trouve ainsi démontré par ce qui précède.

Démonstration des quatre théorèmes sur l’hyperbole
énoncés à la page 268 du précédent volume ;

Par MM. Sturm, Vecten et Querret.

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THÉORÈME I. Les sécantes menées de l’un quelconque des points d’une hyperbole à deux points fixes pris sur la courbe interceptent toujours, sur l’une ou sur l’autre asymptote, des longueurs cons-