Il est d’abord facile de voir qu’à une même valeur réelle de
ne saurait répondre qu’une seule valeur réelle de
puisque deux puissances différentes de
ne sauraient être égales entre elles. Désignons par
cette valeur réelle, et représentons par
la quantité inconnue qui doit lui être ajoutée pour avoir toutes les autres ; nous aurons ainsi
![{\displaystyle e^{r+z{\sqrt {-1}}}=e^{r}.e^{z{\sqrt {-1}}}=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5210020f8e0917579ba3cbd5f92ebb092f86ad)
d’où, à cause de
nous conclurons
![{\displaystyle e^{z{\sqrt {-1}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5046e96b510aa7289eab6576d251e0420f6dc4)
Mais, d’un autre côté, on sait que
![{\displaystyle e^{z{\sqrt {-1}}}=\operatorname {\operatorname {Cos} } .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {\operatorname {Sin} } .z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7c3f790b5cf7475c4d18bbb679e300e226bb66)
donc
sera donné par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {\operatorname {Cos} } .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {\operatorname {Sin} } .z=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b64a412cd12f9b0a3e56073b8a6ca7dd672564)
d’où l’on tire
ce qui revient à
étant un nombre entier positif quelconque. On a donc, en général,
![{\displaystyle e^{r+2p\varpi {\sqrt {-1}}}=y,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b905c00557050242a287e26614a8784cd0619811)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {\operatorname {Log} } .y=r+2p\varpi {\sqrt {-1}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b365ff0125b2da25878a706abadad848b70cba99)
(1)
Pour avoir le logarithme de
nous poserons semblablement
![{\displaystyle e^{r+z{\sqrt {-1}}}=-y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f8df94b15c6c5c4e2a87fed0f9346f9a0922a7)
étant toujours, comme ci-dessus, le logarithme réel de
il viendra ainsi, en simplifiant