![{\displaystyle e^{z{\sqrt {-1}}}=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf58ccd6d2a84cc8838ee7ce3bdd0d757c38b7b4)
ou bien
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602f8bdd9b73a2e0e5a51a3669038eb7aae5c324)
d’où
ce qui donne
et par suite
![{\displaystyle e^{r+(2p'+1)\varpi {\sqrt {-1}}}=-y,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5c0a2356ca7047d6ecded48db8f3291e550e64)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {Log} .(-y)=r+(2p'+1)\varpi {\sqrt {-1}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d56c974976843512474098ea945f0886a3e934)
(2)
2. Lorsqu’au contraire on demande quelles peuvent être les diverses valeurs de
qui répondent à une même valeur réelle de
on doit essentiellement distinguer trois cas ; savoir : celui où ce est un nombre entier ; celui où
est un nombre fractionnaire ; et enfin celui où
est un nombre irrationnel.
Dans le premier cas, il est manifeste que la puissance
ou
ne saurait avoir qu’une seule valeur. Ainsi, le logarithme entier, positif ou négatif
ne saurait répondre qu’à un seul nombre
Si
est fractionnaire, en désignant par
son dénominateur,
aura, comme l’on sait,
valeurs différentes, dont une réelle positive. Représentant celle-ci par
on aura en général
c’est-à-dire,
![{\displaystyle e^{x}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/410d28b65e83b7f0f3f56da2ec8b6320356065a3)
ou
![{\displaystyle \quad y=R\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{k}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{k}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec9f1bfb1bb4aef43379950ee46c381fdc645ca)
Si enfin l’on suppose
irrationnel, cela reviendra à supposer
infini ; et
aura autant de valeurs différentes qu’en aura
lorsque
est infini. Or, quelque grand que soit
, l’expression
aura toujours
valeurs différentes, depuis
jusqu’à
ou zéro, où les arcs forment la suite ascendante