et ici, quelques valeurs entières et positives qu’on attribue à
on ne parviendra jamais à faire coïncider les deux expressions.
Nous voilà donc conduits de nouveau à cette conclusion que
est ou n’est pas le même que
suivant que le dénominateur
de ce logarithme est pair ou impair.
On voit donc, par ce qui précède, que les formules
![{\displaystyle \operatorname {Log} .y=r+2p\varpi {\sqrt {-1}},\qquad \operatorname {Log} .(-y)=r+(2p'+1)\varpi {\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c043fb733f792cb9447e46dce72fad8db8792512)
ne sont point générales, et ne sauraient être appliquées qu’au seul cas où le logarithme réel de
est un nombre entier ; dans tout autre cas, il faut écrire
![{\displaystyle \operatorname {Log} .y=r+\left(2m-{\frac {2p}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caae335ed94d72743d5a0f27cd37d461d479ca14)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(-y)=r+\left(2m'+1-{\frac {2p'}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc731354e15ca3d772417b267a1b17923b1200b)
étant le dénominateur du logarithme réel de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
6. Nous ferons, en terminant, une observation qui se présente pour ainsi dire d’elle-même : c’est que, lorsqu’on veut raisonner sur un logarithme développé en série, soit sous la forme ordinaire, soit sous toute autre, il ne suffit pas d’écrire
![{\displaystyle \operatorname {Log} .y={\frac {y-1}{1}}-{\frac {(y-1)^{2}}{2}}+{\frac {(y-1)^{3}}{3}}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f627c1c6ad59a7f9344790757729b71e56369a5a)
mais qu’il est nécessaire d’ajouter au développement l’une ou l’autre quantité
![{\displaystyle \left(2m-{\frac {2p}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},\qquad \left(2m+1-{\frac {2p}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c27bb58ab55cfef384efc780985e6a647d15cb)
suivant que
est un nombre positif ou négatif[1].
- ↑ Une remarque analogue nous avait déjà été faite par M. Querret à l’occasion de la formule de M. Bouvier.
J. D. G.