mêmes raisons,
et
d’où on conclut
![{\displaystyle \mathrm {PA:PB:PC:PD} ::a:b:c:d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94bff28ddd6198cfaf4ff98caeba57e46a03c52)
De cette suite de rapports égaux, on conclut ensuite sans difficulté
![{\displaystyle \mathrm {AC:BD} ::a+c:b+d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e58a73f525e3031ce924767e8bc5aa41b1f19d)
THÉORÈME XIV. Dans tout quadrilatère à la fois inscripttille et circonscriptible, le produit des tangentes menées de deux sommets opposés et terminées à leurs points de contact est constant et égal au carré du rayon du cercle inscrit.
Démonstration. En effet, menons les droites
des sommets du quadrilatère au centre du cercle inscrit, et les rayons
aux points de contact des côtés de ce quadrilatère ; les deux triangles
seront semblables. En effet, ils sont d’abord rectangles, l’un en
et l’autre en
de plus, leurs angles en
et
sont les moitiés des angles de même dénomination du quadrilatère ; et, puisque ces derniers sont supplément l’un de l’autre, les autres seront complément l’un de l’autre. On aura donc
et
Ces deux triangles semblables donnent ainsi
ou
d’où
On trouverait pareillement
ainsi
![{\displaystyle ac=bd=r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53aaf19c0d69edbccc096421d09af85fbb904a53)
Ce théorème, assez remarquable, n’était point encore connu.
Corollaire I. Le quadrilatère
étant inscrit au cercle, on doit avoir
![{\displaystyle =ac+ad+bc+bd+ab+ac+bd+cd=(ab+bc+cd+ad)+4r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f86e3315508f6d1b2b4ea9b48afee9eda93b70)
![{\displaystyle =(a+c)(b+d)+4r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c1aa3560cee15a0359f88c859958ff6a591708)
II. On a aussi
De là on tire