![{\displaystyle {\overline {\mathrm {AC} }}^{2}={\frac {(a+c)\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{b+d}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a183b0f323d29076d7d8ea7e9f44ece6a1fb0d8e)
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {BD} }}^{2}={\frac {(b+d)\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{a+c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88860dbf11b3553bc09c67b9bceb6629fdd0bba1)
III. On a encore
![{\displaystyle \mathrm {AP:BP:CP:DP:AC:BD} ::a:b:c:d:(a+c):(b+d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ce0dc412705056c3b3e5ff527296b3e80b7518)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\overline {\mathrm {AP} }}^{2}={\cfrac {a^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}},&{\overline {\mathrm {BP} }}^{2}={\cfrac {b^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}},\\\\{\overline {\mathrm {CP} }}^{2}={\cfrac {c^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}},&{\overline {\mathrm {DP} }}^{2}={\cfrac {d^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e1a097fcceeacfab4faceaea1326d3b14170cc)
IV. Du centre
du cercle circonscrit abaissons des perpendiculaires
et
sur les diagonales
et
du quadrilatère ; les points
et
seront les milieux de ces diagonales ; et la droite
qui les joint passera (Théor. VIII) par le centre
du cercle inscrit. Le quadrilatère
ayant deux angles droits opposés
et
sera inscriptible (Théor. I) ; et l’on aura par conséquent (Théor. II)
Cela posé, on aura, d’après un théorème d’Euler
ou bien
Mais on tire des triangles
![{\displaystyle 2\mathrm {{\overline {IK}}^{2}={\overline {AI}}^{2}+{\overline {CI}}^{2}-{\frac {{\overline {AB}}^{2}}{2}},\qquad 2{\overline {IL}}^{2}={\overline {BI}}^{2}+{\overline {DI}}^{2}-{\frac {{\overline {BD}}^{2}}{2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a975ffd23d99022e3130f28c7173b3d52574488)
substituant donc, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {2\left({\overline {AI}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+{\overline {CI}}^{2}+{\overline {DI}}^{2}\right)+8IK\times IL} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655d3b72c670b194de9797d19cce1873e6172f34)
![{\displaystyle =\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+2(a+c)(b+d)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c89a802f8aa2e7cf74e4be0cebe546c93e97bb)
substituant enfin pour
leurs valeurs respectives