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radicaux ; ce qui fait prendre au coefficient différentiel du premier ordre, en ces sortes de points, la forme indéterminée ${\frac {0}{0}}\,;$ or, les fonctions transcendantes qui, par la différentiation passent dans les coefficiens différentiels, sont en général susceptibles de plusieurs valeurs, et doivent par conséquent être assimilées aux radicaux. Il peut donc exister des points multiples pour lesquels le coefficient différentiel ne prenne pas la forme ${\frac {0}{0}}.$

Pour en donner un exemple bien simple, considérons deux logarithmiques ayant respectivement pour équations

$y-1-e^{x}=0,\qquad y+1-e^{x}=0\,;$

et multiplions ces deux équations membre à membre, il en résultera l’équation unique

$y^{2}-2e^{x}y+e^{2x}-1=0,$

représentant à la fois les deux courbes (fig. 6). Or, la branche pointillée de la première et la branche continue de la seconde passant toutes deux par l’origine, il en résulte un espèce de point multiple qui pourtant n’est point manifesté par le coefficient différentiel ; car, en différenciant et divisant par $y-e^{x},$ on a simplement ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=e^{x},$ fonction qui ne saurait prendre la forme ${\frac {0}{0}}.$ On pourrait objecter, à la vérité, que la branche pointillée qui passe à l’origine n’y est pas réellement coupée, puisque ce point se trouve sur un espace vide ; mais on détruirait facilement cette objection en donnant une autre disposition aux deux courbes. En prenant, par exemple, celles dont les équations sont respectivement

$y-a-e^{x}=0,\qquad y-e^{x}=0,$

on verrait que les conséquences sont exactement les mêmes ; et, comme $a$ est quelconque, il existe une infinité de manières de le déterminer qui feront tomber l’intersection sur un point réel.