N’ayant pas le dessein de présenter ici une théorie complète des courbes exponentielles ; mais seulement de donner une idée de la manière dont elles doivent être discutées d’après la considération du nombre de leurs branches, de la nature de chacune d’elles, du sens de sa courbure et des valeurs que peuvent prendre les coefficiens différentiels des deux premiers ordres ; nous nous bornerons à quelques exemples des plus simples.
11. Occupons-nous, en premier lieu, de la courbe donnée par l’équation
dans laquelle nous supposerons d’abord positif et Pour une valeur positive très-petite de la valeur de est très-grande et devient même infinie lorsque À mesure que augmente, diminue ; elle devient égale à lorsque et finit par devenir égale à lorsque La courbe a donc un cours continu dans l’angle (fig. 7) ; et elle a pour asymptotes d’une part l’axe des et d’une autre une parallèle menée à l’axe des à une distance de l’origine. Mais, indépendamment des valeurs positives de on conçoit (6) qu’en donnant à des valeurs convenables, on trouvera pour des valeurs négatives ne différant que par le signe des valeurs positives correspondantes, d’où résultera une branche pointillée symétrique à la branche continue, par rapport à l’axe des
Quant aux valeurs négatives de les plus petites donneront d’abord de très-petites valeurs positives de et donnera À mesure que croîtra négativement, croîtra positivement et deviendra lorsqu’on aura Mais ne pourra croître indéfiniment, et tendra sans cesse vers la limite qu’elle
