soit en outre désignée par
la racine réelle positive de
l’équation ci-dessus pourra être écrite ainsi
![{\displaystyle R\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p'\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}\right)=\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)\left(P+{\sqrt {-1}}Q\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24fa1ec61b9afbfb4ff0495e9ba8c9ff0a52341)
représentant un nombre entier quelconque, généralement différent de
Effectuant de part et d’autre les opérations indiquées et posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {2p\varpi }{n}}=k,\qquad {\frac {2p'\varpi }{n}}=k',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3257e6ca977753a4bd2562d0a72c93950496ebf7)
il viendra
![{\displaystyle R\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}R\operatorname {Sin} .k'=P\operatorname {Cos} .k-Q\operatorname {Sin} .k+{\sqrt {-1}}\left(P\operatorname {Sin} .k+Q\operatorname {Cos} .k\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e8de57e03227f80919c8be478a6296f8e800b4)
d’où, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires[1],
![{\displaystyle R\operatorname {Cos} .k'=P\operatorname {Cos} .k-Q\operatorname {Sin} .k,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45e01db76f2d59058009e6f43dae53ab063fa4b)
(1)
![{\displaystyle R\operatorname {Sin} .k'=P\operatorname {Sin} .k+Q\operatorname {Cos} .k,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9ab4d6a8f1e12777940b7c9fc456f4a343010c)
(2)
- ↑ Nous placerons ici une remarque qui nous paraît importante : c’est qu’ayant une équation de la forme
on ne doit pas en conclure trop légèrement
lorsque ces quantités sont des séries. On sait en effet qu’une valeur imaginaire peut être développée en une série de termes réels, comme par exemple
![{\displaystyle \left(-x^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\left[1-\left(1+x^{2}\right)\right]^{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abda34567ef553a63d446efc9caac954ac8d451)
![{\displaystyle =1-{\frac {1+x^{2}}{2}}-{\frac {\left(1+x^{2}\right)^{2}}{2.4}}-{\frac {3\left(1+x^{2}\right)^{3}}{2.4.6}}-{\frac {3.5\left(1+x^{2}\right)^{4}}{2.4.6.8}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3518fbd345c44d232305f8cc4080d7daf3bd0925)
mais qu’alors ces séries ne sauraient être constamment convergentes. Lors donc que quelqu’une des trois quantités
sera une série divergente, on ne pourra être certain de la conclusion ![{\displaystyle a=b,\ c=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb559b658def292e5ad6c408316ca43b8701bbad)