Prenant la somme des carrés des deux membres de ces équations, on aura d’abord la relation
![{\displaystyle R^{2}=P^{2}+Q^{2},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd445c518d58a09b73929549a72fecc39ade423)
d’où
![{\displaystyle \quad R=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61745ba0330ee01140cfc9f3566c7fffe69868bb)
au moyen de laquelle on pourra toujours calculer la valeur réelle unique ou la valeur réelle positive de
après avoir déterminé
et
Les équations (1, 2) donneront ensuite
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .k={\frac {P\operatorname {Cos} .k'+Q\operatorname {Sin} .k'}{R}},\qquad \operatorname {Sin} .k={\frac {P\operatorname {Sin} .k'-Q\operatorname {Cos} .k'}{R}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e32741d91b21fda9e003dd00b41003b1e637e97)
Au moyen de ces valeurs, celle de
pourra être écrite ainsi
![{\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .k'+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ab8cf80ac9415b7ae43d1f958d4bda656463ab)
![{\displaystyle =+{\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p'\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p'\varpi }{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c19fba7622f78c99c739883f8d9ad95364e22bb)
Ainsi,
et
étant calculés, on aura la valeur d’une racine quelconque déterminée de
en évaluant le second membre au moyen de
qui sera donné, puisqu’on suppose que la racine dont il s’agit est déterminée. Si, par exemple, on demandait la racine entièrement réelle, il faudrait supposer
d’où
ou
ou
ce qui ferait retomber sur la valeur
![{\displaystyle R=\pm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c72f550cfb18c7805835e8ee80f5fbc3bb310c)
Cette remarque, au surplus, n’intéresse aucunement le sujet qui nous occupe, attendu que
et
étant chacun, par la forme même de leur développement, moindres que
ne sauraient être des séries divergentes.