![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {Cos} .x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ \int {\frac {\operatorname {Cos} .3x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ldots \int {\frac {\operatorname {Cos} .(r-1)x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05550599dbe7c4d14fca06415b154b0f80a9498)
prises entre les mêmes limites, seront toutes égales à ![{\displaystyle \varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708f6611303e54eefbedd289cd48ca2ed16af127)
3.o Enfin, qu’il en ira à l’inverse, si le nombre entier positif
est impair ; c’est-à-dire qu’alors ce seront les intégrales de la dernière ligne qui seront nulles, tandis que celles de l’avant-dernière seront toutes égales à
Toutes ces remarques vont, dans un instant, recevoir leur application.
3. Soient présentement
et
deux constantes indéterminées, et soit
la caractéristique d’une fonction quelconque ; le théorème de Taylor donnera
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)=\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).e^{x{\sqrt {-1}}}+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).e^{2x{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da1d625b3d47e58a950ed405205b7662d27cf5b)
![{\displaystyle +{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).e^{3x{\sqrt {-1}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3237493eff69708c22e6ab27b03502c4834dc6f5)
puis, en changeant le signe de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)=\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).e^{-x{\sqrt {-1}}}+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).e^{-2x{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af695ca7971d3e1da625ca546c72976781d6bf5c)
![{\displaystyle +{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).e^{-3x{\sqrt {-1}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ecf10ac68c331dd8b7c4d179356cd42eed4851)
Prenant d’abord la demi-somme de ces équations, puis leur demi-différence divisée par
en se rappelant qu’en général
![{\displaystyle {\frac {e^{k{\sqrt {-1}}}+e^{-k{\sqrt {-1}}}}{2}}=\operatorname {Cos} .k,\qquad {\frac {e^{k{\sqrt {-1}}}-e^{-k{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}=\operatorname {Sin} .k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c3dd4e499b4910f9d0ed457921740406abee1e)
on aura ces deux nouvelles équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8504cbeb85de267c44149afb20df85c2433eb5a1)
![{\displaystyle =\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Cos} .x+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Cos} .2x+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).\operatorname {Cos} .3x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518432aff666c39258fa9c5888a9537aeae62152)