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${\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}$

$={\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Sin} .x+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Sin} .2x+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).\operatorname {Sin} .3x+\ldots$

multipliant les deux membres de la première et ceux de la seconde respectivement par

${\frac {\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\qquad {\frac {\operatorname {Cos} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,$

et indiquant les intégrations, il viendra

$\int {\frac {\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {Sin} .rx}{2\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$

$=\operatorname {F} (\alpha )\int {\frac {\operatorname {Cos} .0x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha )\int {\frac {\operatorname {Cos} .x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$

$+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha )\int {\frac {\operatorname {Cos} .2x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x+\ldots$

$\int {\frac {\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {Cos} .rx}{2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$

$={\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha )\int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha )\int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .2x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x+\ldots$

Si présentement on prend les intégrales entre les limites $0$ et $\varpi ,$ en ayant égard à ce qui a été dit ci-dessus, et en renversant le second membre de la première équation ; on trouvera, quel que soit d’ailleurs le nombre entier positif $r,$ en divisant par $\varpi ,$