(A)
![{\displaystyle \qquad {\frac {1}{2\varpi }}\int _{0}^{\varpi }{\frac {\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {Sin} .rx}{2\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfa3a2a13e602eb2bd330f46aeceb156c04d486)
![{\displaystyle ={\frac {p^{r-1}}{1.2\ldots (r-1)}}.\operatorname {F} ^{(r-1)}(\alpha )+{\frac {p^{r-3}}{1.2\ldots (r-3)}}.\operatorname {F} ^{(r-3)}(\alpha )+{\frac {p^{r-5}}{1.2\ldots (r-5)}}.\operatorname {F} ^{(r-5)}(\alpha )+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6fc83587e89913bdae351930ea1884f651955ff)
(B)
![{\displaystyle {\frac {1}{2\varpi {\sqrt {-1}}}}\int _{0}^{\varpi }{\frac {\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {Cos} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56af2234e786353019f2f98dfb55c03a689a17e1)
![{\displaystyle ={\frac {p^{r+1}}{1.2\ldots (r+1)}}.\operatorname {F} ^{(r+1)}(\alpha )+{\frac {p^{r+3}}{1.2\ldots (r+3)}}.\operatorname {F} ^{(r+3)}(\alpha )+{\frac {p^{r+5}}{1.2\ldots (r+5)}}.\operatorname {F} ^{(r+5)}(\alpha )+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8695bc6f8bd4b8315d71dc8029ca1f81d4b1fb23)
Si donc
est un nombre pair, la formule (A) donnera la somme des termes de degrés impairs de la série de Taylor, depuis le terme affecté de
jusqu’au terme affecté de
et la formule (B) donnera la somme de tous les autres termes de degrés impairs, à l’infini.
Si, au contraire,
est un nombre impair, la formule (A) donnera la somme des termes de degrés pairs de la série de Taylor, depuis le terme
jusqu’au terme affecté de
et la formule (B) donnera la somme de tous les autres termes de degrés pairs, à l’infini.
4. Cette même série de Taylor donne
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha +p)=\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha )+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha )+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha )+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f25d323707beeb60a82e784bcc8016335010127)
puis, en changeant le signe de ![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha -p)=\operatorname {F} (\alpha )-{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha )+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha )-{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha )+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10ed48349c8a90aa0f328574d5a51d31d751328)