Mais l’équation (P), obtenue en faisant passer la variable
toujours réelle, par une série de valeurs imaginaires, ne serait pas suffisamment établie, s’il n’y avait, pour y parvenir, une marche où les imaginaires ne se montrassent qu’en apparence, et qui fît voir en outre à quelle restriction la fonction
doit être assujettie.
Supposons
développable suivant les puissances entières de
on aura, par la série de Taylor que nous supposons convergente,
![{\displaystyle e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)+e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446f58cfeb82debe16845c06003eb3e9738f4bc1)
![{\displaystyle =2\left\{\varphi (0).\operatorname {Cos} .x+{\frac {\varphi '(0).\operatorname {Cos} .2x}{1}}+{\frac {\varphi ''(0).\operatorname {Cos} .3x}{1.2}}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e747155b75b559d4d061249d58acc0b6f6f63a2)
observant qu’en général, lorsque
est entier,
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }\operatorname {Cos} .nx.\operatorname {d} x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7767940ce5669109360fd77c2a2deb2c819454)
multipliant par
et intégrant depuis
jusqu’à
il viendra
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }\left\{e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)+e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ce64534e41092be591fd24e9f3ea13aa270c4d)
(1)
Cela posé, on a aussi
![{\displaystyle {\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)-e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98cc0dcd7e21310981881650a8b63f584038378)
![{\displaystyle =\varphi (0).\operatorname {Sin} .x+{\frac {\varphi '(0).\operatorname {Sin} .2x}{1}}+{\frac {\varphi ''(0).\operatorname {Sin} .3x}{1.2}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31338576a2403bc77029664d698a7e79d7ddf9cf)
observant que, lorsque
est entier, suivant que ce nombre est pair ou impair, on a