![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }\operatorname {Sin} .nx.\operatorname {d} x=0,\qquad \int _{0}^{\varpi }\operatorname {Sin} .nx.\operatorname {d} x={\frac {2}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d383564b6ec02e4a452506ca03c3f39427d426bf)
multipliant par
et intégrant depuis
jusqu’à
on aura
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)-e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a5d6221d344abd95c9509fc9d65b738cc33e32)
![{\displaystyle =2\left\{\varphi (0)+{\frac {\varphi ''(0)}{1.2.3}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\mathrm {IV} }}(0)}{1.2.3.4.5}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\mathrm {VI} }}(0)}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae63118634f2e786bd269b99698ebdb7c26a705)
mais, on a aussi
![{\displaystyle \varphi (z)=\varphi (0)+{\frac {\varphi '(0).z}{1}}+{\frac {\varphi ''(0).z}{1.2}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9580fd769b022b36ad2c130b0aeb261b5383c0bc)
d’où
![{\displaystyle \int _{-1}^{+1}\varphi (z).\operatorname {d} z=2\left\{\varphi (0)+{\frac {\varphi ''(0)}{1.2.3}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\mathrm {IV} }}(0)}{1.2.3.4.5}}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1bcdc17ca9698d126900d3c8f3b9d843f0e0b5c)
donc
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }\left\{e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)-e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6928e3f34340d4c4bfff106c35c05e397f6add72)
![{\displaystyle =2{\sqrt {-1}}\int _{-1}^{+1}\varphi (z).\operatorname {d} z\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e613b91890812347338b51ee13c69606bc93ad0a)
(2)
or, en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2), on tombe précisément sur l’équation (P) qui se trouve ainsi complètement justifiée.
8. Pour déduire de cette équation la valeur d’un grand nombre d’intégrales définies, il reste à donner à la fonction
différentes formes. La seconde manière dont on est parvenu à l’équation (P)