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$\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(nx+a\operatorname {Sin} .x)\operatorname {d} x,\ \int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(nx+a\operatorname {Sin} .x)\operatorname {d} x,$

dont la première sera toujours nulle. L’équation

$\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(nx+a\operatorname {Sin} .x)\operatorname {d} x=0,$

se vérifie d’ailleurs immédiatement par les équations

${\begin{aligned}&{\frac {2}{\varpi }}\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)\operatorname {Cos} .nx.\operatorname {d} x={\frac {a^{n}}{1.2\ldots n}},\\\\&{\frac {2}{\varpi }}\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Cos} .x)\operatorname {Sin} .nx.\operatorname {d} x={\frac {a^{n}}{1.2\ldots n}}\,;\end{aligned}}$

données par M. Poisson dans son quatrième mémoire sur les intégrales définies^[1].

9. Par une marche analogue à celle qui nous a conduit à l’équation (P), on peut obtenir une nouvelle formule, relative à des intégrales dont les limites sont $0$ et $\infty .$

Soit $\psi (z)\operatorname {d} z$ une différentielle qui doive être intégrée depuis $0$ jusqu’à $1.$ Posons

$z=e^{-x+x{\sqrt {-1}}}.$

Pour que $z$ varie toujours depuis $0$ jusqu’à $1,$ il faudra que $x$ varie, depuis $\infty$ jusqu’à $0.$ On tire de là

1. Journal de l’école polytechnique, XIX.^e cahier, p. 439.