fait voir d’ailleurs que cette fonction n’est pas entièrement arbitraire, et qu’elle doit être développable en série convergente, procédant suivant les puissances entières de
Soit, pour en donner un exemple,
on aura
![{\displaystyle -{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} x=-{\sqrt {-1}}.\int _{0}^{\varpi }e^{2x{\sqrt {-1}}}.e^{ae^{x{\sqrt {-1}}}}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f984cd1dbb92881b1864807b0aa3425f107f78f)
et, en séparant la partie imaginaire de la partie réelle,
![{\displaystyle -{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa853721c249b6aa7192d32967b0aab3ea9301b)
![{\displaystyle =e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)-{\sqrt {-1}}e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2114d68d3978cc69b0d44789531a9c5745a4e4)
de sorte qu’on aura, par l’équation (P),
![{\displaystyle \int _{-1}^{+1}ze^{az}\operatorname {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b95f1939bbdefa35e77321e8d2b4c6ca623d288)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(2x+a\operatorname {Sin} .x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42676ea8241e74bb2806e08e621efb1873e65c04)
L’intégration par partie donne
![{\displaystyle \int _{-1}^{+1}ze^{az}\operatorname {d} z=e^{a}\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}\right)+e^{-a}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e296d033b888864a1c74e82cc006b39f9bed0adc)
on a donc
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)\operatorname {d} x=e^{a}\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}\right)+e^{-a}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eec9dfb847a99205c8764a45701f188e0cae956)
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)\operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b9c74f45b4d7bb1ca25d7a823a04b46502fced)
En faisant
étant un nombre entier quelconque, on obtiendrait les valeurs des intégrales