![{\displaystyle \mathrm {BG=MB+MG} ,\qquad \mathrm {MG} ={\frac {b}{a}}\mathrm {MA} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695d4aa04c4e66149c6837246f6e7237ffd9bdd7)
ainsi
![{\displaystyle \mathrm {MB} +{\frac {b}{a}}\mathrm {MA=BG} ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691b5732ebc4c0925c36f78da411ee6418494386)
ou
![{\displaystyle \quad a.\mathrm {MB} +b.\mathrm {MA} =c.\mathrm {AB} .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d3c36522d4080c8260aae5130b38ea6d52817c)
(1)
Le lieu géométrique du point
est donc une courbe dans laquelle la somme des produits des rayons vecteurs, rapportés aux points
et
par deux constantes, est elle-même une quantité constante.
Deuxième cas (fig. 4). Le point
se trouve sur l’arc
Les angles
étant alors égaux entre eux, soit prise sur
prolongée, s’il est nécessaire, au-delà du point
une longueur
qui soit à
dans le rapport donné de
à
et soit menée
Les triangles
ayant un angle égal en
et
compris entre deux côtés proportionnels, seront semblables ; d’où il suit que l’angle
sera égal à l’angle
et conséquemment plus petit que
de sorte que
doit réellement tomber entre
et
Ensuite l’angle
sera égal à l’angle
et, comme les angles
sont aussi égaux, on voit que les triangles
sont aussi semblables, et donnent conséquemment
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b480529fd22ef2a2514a33c315d98424fa3e1cbe)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02d6e3d9b3b1b7c28bf5040d1595f5ddc06cc48)
donc
est constant et donné de grandeur. Or, on a
![{\displaystyle \mathrm {BG=MB-MG,\qquad MG} ={\frac {b}{a}}\mathrm {MA} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75b0dc2487866536fbde1f705cfce26b9da1319)
ainsi
![{\displaystyle \mathrm {MB} -{\frac {b}{a}}\mathrm {MA=BG} ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d75869a310e4a9033efa53519592f5f8a42f9c)
ou
![{\displaystyle \quad a.\mathrm {MB} -b.\mathrm {MA} =c.\mathrm {AB} .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10983db035ad16cac7888d7ffc3a1a849bd4ace4)
(2)