Pour rentrer dans la généralité de la question, faisons passer une circonférence par les trois points
cette circonférence coupera la droite
en un second point
et, à cause de la relation
lui sera tangente en
Cela étant, les sinus des angles
formés par cette tangente
avec les cordes
seront entre eux comme ces cordes. Soit
le rapport donné de ces sinus : on aura ainsi
de sorte que les trois droites
seront constamment proportionnelles aux trois constantes
La circonférence qui passe par les trois points
est divisée par ces points en trois arcs sur chacun desquels le point
peut également se trouver. Voilà donc trois cas distincts qu’il faut discuter séparément.
Premier cas (fig. 3). Le point
tombe sur l’arc
Les angles
étant alors supplémens l’un de l’autre ; prolongeons
d’une longueur
qui soit à
dans le rapport donné de
à
ou de
à
et soit menée
Les triangles
ayant un angle égal en
et
compris entre deux côtés proportionnels, seront semblables ; d’où il suit que l’angle
sera égal à l’angle
et par conséquent l’angle
égal à l’angle
Les triangles
ayant en outre les angles
égaux sont donc semblables et donnent
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b480529fd22ef2a2514a33c315d98424fa3e1cbe)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02d6e3d9b3b1b7c28bf5040d1595f5ddc06cc48)
donc
est constante et donnée de grandeur. Or, on a
en même temps quelques résultats sur le même sujet que nous avons obtenus depuis long-temps, mais que le défaut de loisir nous a empêché jusqu’ici de mettre en ordre.
J. D. G.