![{\displaystyle \operatorname {Sin} .DA={\frac {\operatorname {Sin} .B\operatorname {Sin} .C}{\operatorname {Sin} .D}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb3997dba79ed0670cdd4799016d412134386d7)
(
XLI)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .DB={\frac {P}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .B\operatorname {Sin} .D}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0dc7aee2a277d74ac502d6e7202f08c9ca2e761)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .DC={\frac {P}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .D}}.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74466f326ad80239729ec2c568d6c55c97ba15e)
(
XLII)
Soient
le pôle et
le rayon sphérique du cercle circonscrit à notre triangle. On sait que, si de ce point
on abaisse des arcs perpendiculaires sur les directions de ses trois côtés, ils tomberont sur leurs milieux ; de sorte qu’en désignant par
les pieds de ces arcs perpendiculaires, on aura
![{\displaystyle A'B=A'C={\frac {1}{2}}a,\quad B'C=B'A={\frac {1}{2}}b,\quad C'A=C'B={\frac {1}{2}}c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a40c311249b180dee421355f8507f7a4daba20d)
et, de plus,
![{\displaystyle OA=OB=OC=R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e260828eb8a8c296fa3c3801d593e49a4cf1da)
Cela posé, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Ang} .OAB+\operatorname {Ang} .OAC=A,\\&\operatorname {Ang} .OBC+\operatorname {Ang} .OBA=B,\\&\operatorname {Ang} .OCA+\operatorname {Ang} .OCB=C\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131331a1eb4f40472db381b3a24ebcdd861bcbb6)
retranchant la première de la somme des deux autres, il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .OBC+\operatorname {Ang} .OCB+\operatorname {Ang} .OBA-\operatorname {Ang} .OAB-\operatorname {Ang} .OCA-\operatorname {Ang} .OAC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f6ea18f3745a44735d4f198af7e7d932907151)
![{\displaystyle =B+C-A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cb58940b6c962f97dec39cac890b2f486ef934)
mais, dans les triangles isocèles
on a
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .OBC=\operatorname {Ang} .OCB,\ \operatorname {Ang} .OCA=\operatorname {Ang} .OAC,\ \operatorname {Ang} .OAB=\operatorname {Ang} .OBA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15605ca1ae3363364be85e5a6416cef8ff9976cb)
réduisant donc, à l’aide de ces relations, il viendra