conque, par l’origine des axes obliques, et soit
son extrémité ; l’équation (13), multipliée par
donnera
![{\displaystyle rr'\operatorname {Cos} .(r,r')=r'x\operatorname {Cos} .(r',x)+r'y\operatorname {Cos} .(r',y)+r'z\operatorname {Cos} .(r',z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06382217642bb140098c92ea730410c28c15361)
mais les trois dernières équations (14) donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r'\operatorname {Cos} .(r',x)=x'+y'\operatorname {Cos} .(x,y)+z'\operatorname {Cos} .(z,x),\\&r'\operatorname {Cos} .(r',y)=y'+z'\operatorname {Cos} .(y,z)+x'\operatorname {Cos} .(x,y),\\&r'\operatorname {Cos} .(r',z)=z'+x'\operatorname {Cos} .(z,x)+y'\operatorname {Cos} .(y,z)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380e0f93c31adbe96eaa70f3487c6fb79d01adf4)
mettant ces valeurs xlans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle rr'\operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&xx'+(yz'+zy')\operatorname {Cos} .(y,z)\\+&yy'+(zx'+xz')\operatorname {Cos} .(z,x)\\+&zz'+(xy'+yx')\operatorname {Cos} .(x,y)\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f5ba7270b32dc002c456d96fb1560950d05f48)
En substituant aux rapports
leurs valeurs angulaires, données par les équations (18), cette formule donnera le cosinus de l’angle de deux droites, rapportées à des coordonnées obliques.
§. VII.
Les formules relatives à la transformation des coordonnées se déduisent de l’équation (13) de la manière la plus simple.
Soient, en effet dans l’espace, deux systèmes d’axes obliques ayant la même origine ; soient
et
les coordonnées d’un même point quelconque, dans les deux systèmes, et soit
la distance de ce point à l’origine. Si
désigne une autre droite de direction arbitraire menée par cette origine, l’équation (13) donnera