![{\displaystyle {\begin{aligned}&r\operatorname {Cos} .(r,p)=x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p),\\&r\operatorname {Cos} .(r,p)=x'\operatorname {Cos} .(x',p)+y'\operatorname {Cos} .(y',p)+z'\operatorname {Cos} .(z',p)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f37a8bc5233acf294040e5ef57fe513a4c01443)
et conséquemment
![{\displaystyle x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb12123a7cd568c0c753565c7a1e91ff5a557fa)
![{\displaystyle =x'\operatorname {Cos} .(x',p)+y'\operatorname {Cos} .(y',p)+z'\operatorname {Cos} .(z',p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e927b108f6a9257ab8b7cfb7a62aa13e355a849c)
(19)
Nous ferons disparaître deux termes de cette dernière équation, en posant
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(y,p)=0,\ \operatorname {Cos} .(z,p)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156f584f1b335af800d0826177e34b6e21ca1117)
alors la droite
sera perpendiculaire au plan des
. Désignant alors par
les angles que fait cette droite avec les axes des
et des
, et employant des notations analogues pour les autres angles du même genre, l’équation (19) deviendra
(20)
et, comme on pourrait appliquer le même raisonnement à chacun des autres axes, on aura, pour les formules générales de la transformation des coordonnées,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x\operatorname {Cos} .(x,yz)=x'\operatorname {Cos} .(x',yz)+y'\operatorname {Cos} .(y',yz)+z'\operatorname {Cos} .(z',yz),\\&y\operatorname {Cos} .(y,zx)=y'\operatorname {Cos} .(y',zx)+z'\operatorname {Cos} .(z',zx)+x'\operatorname {Cos} .(x',zx),\\&z\operatorname {Cos} .(z,xy)=z'\operatorname {Cos} .(z',xy)+x'\operatorname {Cos} .(x',xy)+y'\operatorname {Cos} .(y',xy).\end{aligned}}\right\}(21)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e113cf3ff5846d9f575e71434f7b2243e6cacb6c)
On obtient par les mêmes moyens, les formules réciproques
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x'\operatorname {Cos} .(x',y'z')=x\operatorname {Cos} .(x,y'z')+y\operatorname {Cos} .(y,y'z')+z\operatorname {Cos} .(z,y'z'),\\&y'\operatorname {Cos} .(y',z'x')=y\operatorname {Cos} .(y,z'x')+z\operatorname {Cos} .(z,z'x')+x\operatorname {Cos} .(x,z'x'),\\&z'\operatorname {Cos} .(z',x'y')=z\operatorname {Cos} .(z,x'y')+x\operatorname {Cos} .(x,x'y')+y\operatorname {Cos} .(y,x'y').\end{aligned}}\right\}(22)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e685b5be7953cd4fea7a838d510efa84a405d2)