![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&Ax=x'+c'y'+b'z',\\&By=y'+a'z'+c'x',\\&Cz=z'+b'x'+a'y'\,;\end{aligned}}\right\}(23)\qquad \left.{\begin{aligned}&Ax'=x+cy+bz,\\&By'=y+az+cx,\\&Cz'=z+bx+ay.\end{aligned}}\right\}(24)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12db9bb57b0c3dfac9e50d71a30c408783149c75)
Si l’on résout les équations (24) par rapport à
en multipliant respectivement les résultats par
et posant, poux abréger,
![{\displaystyle k^{2}=1-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2abc,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12825aae6d2c136e6866aca8988a95c584399ba)
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Ax={\frac {1}{k^{2}}}\left\{A^{2}\left(1-a^{2}\right)x'+AB(ab-c)y'+CA(ca-b)z'\right\}\\\\&By={\frac {1}{k^{2}}}\left\{B^{2}\left(1-b^{2}\right)y'+BC(bc-a)z'+AB(ab-c)x'\right\}\\\\&Cz={\frac {1}{k^{2}}}\left\{C^{2}\left(1-c^{2}\right)z'+CA(ca-b)x'+BC(bc-a)y'\right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3067ab5e518bc829ab7eef95cb168644c8027f)
comparant ces dernières équations aux équations (23), on aura, à cause de l’identité qui doit évidemment exister entre leurs seconds membres,
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}A^{2}\left(1-a^{2}\right)=k^{2},&BC(bc-a)=a'k^{2},\\B^{2}\left(1-b^{2}\right)=k^{2},&CA(ca-b)=b'k^{2},\\C^{2}\left(1-c^{2}\right)=k^{2},&AB(ab-c)=c'k^{2}.\end{array}}\right\}\quad (25)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4464180f804020932247c4e8c01217cf43851797)
Il est manifeste que si l’on eût opéré d’abord sur les équations (23) pour comparer ensuite les résultats aux équations (24) ; en posant, pour abréger,
![{\displaystyle k^{'2}=1-a^{'2}-b^{'2}-c^{'2}+2a'b'c',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6e5bd4249d06ba1871e663f40368462d1a3b17)
on aurait eu