![{\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}A^{2}\left(1-a'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad BC(b'c'-a')=ak^{2},\\B^{2}\left(1-b'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad CA(c'a'-b')=bk^{2},\\C^{2}\left(1-c'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad AB(a'b'-c')=ck^{2}.\end{array}}\right\}\quad (26)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d0e51c3ee44fa10a83c0c31f18efa801594dab)
Équations dont le système équivaut évidemment à celui des premières.
Les axes des
sont les arêtes d’un angle trièdre dont les angles plans sont
et dont nous désignerons les angles dièdres respectivement opposés par
On peut supposer que les perpendiculaires élevées aux faces de cet angle trièdre, sont tellement dirigées que les angles qu’elles font avec les arêtes opposées n’excèdent pas l’angle droit ; alors les cosinus
de ces angles sont positifs, et les équations de gauche (25) et (26) donnent
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}A{\sqrt {1-a^{2}}}=k,&\qquad A{\sqrt {1-a'^{2}}}=k',\\B{\sqrt {1-b^{2}}}=k,&\qquad B{\sqrt {1-b'^{2}}}=k',\\C{\sqrt {1-c^{2}}}=k,&\qquad C{\sqrt {1-c'^{2}}}=k'\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61d5dc43d950049d13e6a7ad631291174faed4d)
d’où, par division
![{\displaystyle {\frac {k}{k'}}={\frac {\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-a'^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-b^{2}}}{\sqrt {1-b'^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-c^{2}}}{\sqrt {1-c'^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0287a856f754c6fcc0405e7813976bf467b79c5c)
Si l’on compare les produits deux à deux des trois premières, puis des trois dernières, avec les équations de droite (25) et (26), on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}bc-a={\sqrt {1-b^{2}}}.{\sqrt {1-c^{2}}}.a',&\qquad b'c'-a'={\sqrt {1-b'^{2}}}.{\sqrt {1-c'^{2}}}.a,\\ca-b={\sqrt {1-c^{2}}}.{\sqrt {1-a^{2}}}.b',&\qquad c'a'-b'={\sqrt {1-c'^{2}}}.{\sqrt {1-a'^{2}}}.b,\\ab-c={\sqrt {1-a^{2}}}.{\sqrt {1-b^{2}}}.c',&\qquad a'b'-c'={\sqrt {1-a'^{2}}}.{\sqrt {1-b'^{2}}}.c.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8753ecec3d505c36216cff36e99ff16e113712)
Maintenant, les angles que font entre elles les perpendiculaires