aux plans des faces de l’angle trièdre, et dont les cosinus sont
peuvent être égaux aux angles dièdres
ou bien en être les supplémens. La question se décide par l’examen d’un cas particulier. Quand les angles plans
sont droits, ce qui rend
et
nuls, l’angle
ne diffère pas de l’angle dièdre
et l’on a
mais nos formules donnent, en même temps
donc
d’où l’on conclut qu’en général
sont les cosinus des supplémens des angles dièdres
Quant à
ce sont visiblement les sinus des angles que font les arêtes avec les faces opposées, angles que, pour abréger, nous dénoterons simplement par
Désignant en outre, pour abréger,
respectivement, les angles
les formules ci-dessus deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\mathrm {X} '=\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} '=\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '=k,\\&\operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Sin} .\mathrm {X} '=\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Sin} .\mathrm {Y} '=\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '=k'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51031c8773ac14607d9e2b1b693b818d9a147e0)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .\mathrm {X} }}={\frac {\operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} }}={\frac {\operatorname {Sin} .z}{\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} }}={\frac {k}{k'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c69ac70c437cc74767b0d4d0c55a3f60a280db)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .\mathrm {X} =\operatorname {Cos} .x-\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e562ffe8a6af11cd3428d9e9f72b0fa156cecfb)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .\mathrm {X} +\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} \operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d83c4cd07c31a9bbead433f703b9e671cfd63a)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} =\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .z\operatorname {Cos} .x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1851085b574f55f6581b569adeee8ef5bca7ea)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Cos} .y=\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} +\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} \operatorname {Cos} .\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ee09f342e1eb890fda17d870be524160eecdd0)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} =\operatorname {Cos} .z-\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc2f235a32581f0953770fd43bca946c69888f1)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} +\operatorname {Cos} .\mathrm {X} \operatorname {Cos} .\mathrm {Y} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e0b13f47bf222e0571625e6941d8da51bd3013)
Nous retrouvons donc ainsi l’ensemble des formules de la trigonométrie sphérique.
Le volume
du parallélipipède construit sur les grandeurs et directions des coordonnées
est égal à l’aire de la face qui renferme les coordonnées
et
multipliée par la perpendiculaire abaissée sur le plan de cette face de l’extrémité de l’arête
qui lui est opposée. Or, l’aire de cette face est
et la perpendiculaire a pour expression
ou
donc
![{\displaystyle \mathrm {P} =xyz\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48033224f78654abf51c19e7c02d50cdbaa81432)
mais nous avons trouvé