Soit
un point quelconque de l’espace, et soit
la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan (27) ; si, par le point
on conçoit un plan parallèle à celui-là, son équation sera de la forme
![{\displaystyle x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p)=p'\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64181ffe5c85e24cdf88a3b5d8223f279c58571b)
(28)
et conséquemment on devra avoir
![{\displaystyle x'\operatorname {Cos} .(x,p)+y'\operatorname {Cos} .(y,p)+z'\operatorname {Cos} .(z,p)=p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665881eed265c67114f832dac68ad4db930bb872)
or, la perpendiculaire
est visiblement égale à la différence des perpendiculaires abaissées de l’origine sur les deux plans parallèles (27) et (28) ; donc suivant que le plan (27) sera ou ne sera pas situé entre l’origine et le point
on aura
![{\displaystyle \pm \mathrm {P} =p'-p=x'\operatorname {Cos} .(x,p)+y'\operatorname {Cos} .(y,p)+z'\operatorname {Cos} .(z,p)-p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26519187872a63cbf03f9db9b002ed9a4176c50)
(29)
D’après les formules déterminées xi-dessus, on voit que, si l’équation proposée était de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} x+\mathrm {B} y+\mathrm {C} z=\mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95554796703fef340d941f9ad2117159552d14af)
on aurait alors
![{\displaystyle P=\pm {\frac {\mathrm {A} x'+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} z'-\mathrm {D} }{\sqrt {\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e9a385373f63854a287946e850f4f73807d72d)
formule connue.
Soit un second plan
![{\displaystyle \mathrm {A} 'x+\mathrm {B} 'y+\mathrm {C} 'z=\mathrm {D} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee9a73baa6abdd0c4ec75038806fee60853dbb5)
l’angle des deux plans sera égal à
étant ici la perpendiculaire abaissée de l’origine sur le second plan ; or, on a (§. VI)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(p,p')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b790e518f115c88e88e34f04cca0538dc95745e7)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(x,p)\operatorname {Cos} .(x,p')+\operatorname {Cos} .(y,p)\operatorname {Cos} .(y,p')+\operatorname {Cos} .(z,p)\operatorname {Cos} .(z,p')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4ee5d1560b8b2a699483a656825bd4217cc3e0)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(p,p')={\frac {\mathrm {AA'+BB'+CC} '}{\left(\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} \right)\left(\mathrm {A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}} \right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685f798d6fa55bcc3f4a8466019c6f106d594e08)
formule également connue.
§. IX.
Nous terminerons par la recherche des relations entre les aires