des faces d’un polyèdre et les angles dièdres qu’elles déterminant par leur rencontre.
Soient
les aires de ces faces. Rapportons le polyèdre à des axes rectangulaires ayant leur origine dans son intérieur ; et soient ![{\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa74f1b302485d081777988b0eb6579d144c853)
les perpendiculaires abaissées de cette origine sur les plans de ses faces, et allant conséquemment du dedans au dehors. Soient encore ![{\displaystyle \alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}\,;\alpha _{2},\beta _{2},\gamma _{2}\,;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7236375e87312458c863da3f006afbebb8a122)
les angles que font ces mêmes perpendiculaires avec les trois faces.
Si l’on considère un autre point
prisdans l’intérieur du polyèdre, comme le sommet commun d’une suite de pyramides ayant ses faces pour bases, leurs hauteurs seront (29)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p_{1}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{1}-y\operatorname {Cos} .\beta _{1}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{1},\\&p_{2}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-y\operatorname {Cos} .\beta _{2}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&p_{n}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{n}-y\operatorname {Cos} .\beta _{n}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{n}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1706f9b877496314ed164047bb1bbd521d14a2c)
de sorte qu’en désignant par
le volume de tout le polyèdre, égal à la somme des volumes de ces pyramides, on aura
![{\displaystyle 3\mathrm {P} =\left\{{\begin{aligned}&t_{1}\left(p_{1}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{1}-y\operatorname {Cos} .\beta _{1}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\right)\\+&t_{2}\left(p_{2}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-y\operatorname {Cos} .\beta _{2}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&t_{n}\left(p_{n}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{n}-y\operatorname {Cos} .\beta _{n}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{n}\right)\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc69bf87d8f17724acc884f56e23d5b0ed898769)
ou bien
![{\displaystyle 3\mathrm {P} =t_{1}p_{1}+t_{2}p_{2}+\ldots t_{n}p_{n}-\left\{{\begin{aligned}&x\left(t_{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{1}+t_{2}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+\ldots t_{n}\operatorname {Cos} .\alpha _{n}\right)\\+&y\left(t_{1}\operatorname {Cos} .\beta _{1}+t_{2}\operatorname {Cos} .\beta _{2}+\ldots t_{n}\operatorname {Cos} .\beta _{n}\right)\\+&z\left(t_{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{1}+t_{2}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}+\ldots t_{n}\operatorname {Cos} .\gamma _{n}\right)\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425044d0cfaec6c9929d3a0a34bc5e4de6d26f34)
et, comme on a aussi
![{\displaystyle 3\mathrm {P} =t_{1}p_{1}+t_{2}p_{2}+\ldots t_{n}p_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152d122feb14eb6df6e7c2f75f98f47d394794c8)
il s’ensuit qu’on doit avoir