![{\displaystyle {\frac {\sqrt {(x-t)^{2}+(y-u)^{2}}}{(x-t)+p(y-u)}}.{\frac {p-p'}{\sqrt {1+p^{'2}}}}={\frac {m}{n}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c572461e8cca8a67cf197c95d2c8705c3360a86)
(1)
de plus, les coordonnées
et
et
se trouveront liées par la condition
![{\displaystyle {\frac {u-u'}{t-t'}}=-{\frac {1}{p'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88949e64b2e3bb2a256a6df5b8c353ea8ac10ab4)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle (t-t')+p'(u-u')=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ab041d4c2519553846cf6263f4b79f8cf06c08)
(2)
au moyen de laquelle l’équation (1) deviendra
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {(x-t)^{2}+(y-u)^{2}}}{(x-t)+p(y-u)}}.{\frac {(t-t')+p(u-u')}{(x-t')^{2}+(u-u')^{2}}}={\frac {m}{n}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787eecc13af940c57987de317dac979c9b86e6e5)
(3)
Cela posé, si l’on prend un quelconque des systèmes de valeurs de
et
donnés par l’équation
ainsi que la valeur correspondante de
pour les substituer dans l’équation (2), l’équation résultante en
et
combinée avec
donnera les valeurs correspondantes de
et
et, en substituant ces valeurs dans (3), l’équation qu’on en obtiendra, en
et
sera indistinctement satisfaite par tous les points de la direction du rayon réfracté.
Puis donc que cette équation laisse
et
indéterminés, et n’établit entre elles qu’une simple relation, il doit nous être permis de la décomposer arbitrairement en deux autres, qui alors donneront, pour
et
les coordonnées d’un point déterminé de la direction du rayon réfracté qui répond au point de départ
du rayon incident.
Or, on satisfait à cette équation, en posant à la fois,