de sorte que la démonstration de cette proposition se réduit à faire voir que, si elle a lieu pour la faculté du
.me degré, elle sera vraie aussi pour celle du
me.
Pour y parvenir, multiplions la quantité
par les deux membres de l’équation (2). Il est d’abord clair que le premier membre de l’équation-produit sera
Pour exécuter la multiplication par le second membre de l’équation (2), considérons tour à tour le multiplicande
comme
![{\displaystyle (x+mp)+y,\qquad \qquad \qquad \quad \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727e92b1810ffa0647137777b1d03cbc23e32066)
pour la multiplication par le 1.
er terme,
![{\displaystyle \left(x+{\overline {m-1}}.p\right)+(y+p),\ \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1cf954279e0ea27d49f8b8c03997802742cc01)
pour la multiplication par le 2.
e,
![{\displaystyle \left(x+{\overline {m-2}}.p\right)+(y+2p),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ddbc063734f6893fd0f2b48692cfff3a59de39)
pour la multiplication par le 3.
e,
![{\displaystyle \left(x+{\overline {m-n+1}}.p\right)+(y+{\overline {n-1}}.p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c42ec865d9557b2a4a917d8429646b1e3767ecb)
pour la multiplication par le
me,
![{\displaystyle \left(x+{\overline {m-n}}.p\right)+(y+{\overline {n}}.p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a953182c50e9f7b2d48aab4947f25f17c0b8f8)
pour la multiplication par le
me ;
on trouvera d’abord, pour les premiers termes du résultat,
![{\displaystyle [{\overset {m+1}{x+y}}]=[{\overset {m+1}{x}}]+[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6166fb30ab7e6874729efb5e1cf27fc8c30b355b)
![{\displaystyle \ +{\frac {m}{1}}[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]+{\frac {m}{1}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d78ca4a13951224d905c65e031464f095e41b0e)
![{\displaystyle \,+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2df7fe4155d7c4e90d9dfe3bc94902958a83dd7)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc2a4a37b3fd077a97346016ee7e540e767c661)
ce qui donne en effet, en opérant la réduction, entre les termes qui renferment les mêmes facultés,