![{\displaystyle [{\overset {m+1}{x+y}}]=[{\overset {m+1}{x}}]+{\frac {m+1}{1}}[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]+{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8fdd3ca9ad6a9a456d414ba153da3b49b376ee)
![{\displaystyle +{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}.{\frac {m-1}{3}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4738a0d586d67cacc323d0efffc3a2d902bc088e)
qui est bien ce que devient l’équation (2), lorsqu’on y change
en ![{\displaystyle m+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c74772c8e5ec1739f84c517a095ac7deb60b8e8)
Mais, afin qu’il n’y ait point d’induction dans tout ceci, remarquons que
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+2}{n-1}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n-1}{y}}]\times \left(y+{\overline {n-1}}.p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1372557a82ae646033a7216f519c3e37e010ac)
![{\displaystyle ={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+2}{n-1}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc93bb8ca9ce9f6e9fd3783f8b683da7d93b2e7)
et que
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}[{\overset {m-n}{x}}][{\overset {n}{y}}]\times \left(x+{\overline {m-n}}.p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408cfb416e3fe987a3659c0dbae04e96a2ae7a68)
![{\displaystyle ={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03540a33992cd91f7e8829ba4a2e4eeba419c821)
et que ces termes du second membre seront les seuls en
or, en les réduisant en un seul, il vient
![{\displaystyle {\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}.{\frac {m-1}{3}}\ldots {\frac {m-n+2}{n}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a69544896699849bfab7ae8bccbe7f4f03e4fe0)
qui est bien ce que devient le (n+1).me terme du second membre de l’équation (2), lorsqu’on y change
en
il demeure donc établi que, si la proposition est vraie pour
elle le sera également pour
or, nous avons prouvé qu’elle était vraie pour
et pour
cette proposition est donc vraie, quel que soit le nombre entier positif ![{\displaystyle m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd92c867d56467c0f878ef318eefcd701b8ec1a)
Adoptons
avec M. Kramp, comme le symbole du produit
en divisant, tour à tour, les deux membres du développement de
et de
par
il vient