![{\displaystyle {\frac {(x+y)^{m}}{m!}}={\frac {x^{m}}{m!}}+{\frac {y}{1}}.{\frac {x^{m-1}}{(m-1)!}}+\ldots +{\frac {y^{n}}{n!}}.{\frac {x^{m-n}}{(m-n)!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aadbdf0ef71492593e8be63dfe331f01fd33b61)
![{\displaystyle +{\frac {y^{m-1}}{(m-1)!}}.{\frac {x}{1}}+{\frac {y^{m}}{m!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f0da8a51cf3e37d91e473548160962ddf2295f)
(3)
![{\displaystyle {\frac {[{\overset {m}{x+y}}]}{m!}}={\frac {[{\overset {m}{x}}]}{m!}}+{\frac {[{\overset {1}{y}}]}{1}}.{\frac {[{\overset {m-1}{x}}]}{(m-1)!}}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{y}}]}{n!}}.{\frac {[{\overset {m-n}{x}}]}{(m-n)!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c8cbb048cf2487dc672bc67d5a43badfbd8d79)
![{\displaystyle +{\frac {[{\overset {m-1}{y}}]}{(m-1)!}}.{\frac {[{\overset {1}{x}}]}{1}}+{\frac {[{\overset {m}{y}}]}{m!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a038a47ea3d092283af443b4837c06db83289c6)
(4)
À l’aide de ces résultats, on peut démontrer commodément un théorème très-fécond en telles conséquences ; lequel consiste en ce que, si l’on a
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {f} (t)=1+{\frac {t}{1}}z+{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}z^{2}+{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}.{\frac {t+2p}{3}}z^{3}\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}.{\frac {t+2p}{3}}.{\frac {t+3p}{4}}z^{4}+\ldots \\\\&\operatorname {f} (u)=1+{\frac {u}{1}}z+{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}z^{2}+{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}.{\frac {u+2p}{3}}z^{3}\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}.{\frac {u+2p}{3}}.{\frac {u+3p}{4}}z^{4}+\ldots \end{aligned}}\right\}(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cc20e43d3394242530823d243319cfb48f88f7)
on aura
[1]![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
(6)
Les équations (5) peuvent, en effet, être écrites ainsi
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {f} (t)=1+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t}}]}{3!}}z^{3}+{\frac {[{\overset {4}{t}}]}{4!}}z^{4}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t}}]}{n!}}z^{n}+\ldots ,\\\\&\operatorname {f} (u)=1+{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{u}}]}{3}}z^{3}+{\frac {[{\overset {4}{u}}]}{4!}}z^{4}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{u}}]}{n!}}z^{n}+\ldots \end{aligned}}\right\}(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa2ea0cf7ecc085ff690dddc3d35d6fb7b2e8c8)
- ↑ C’est le théorème de M. de Stainville, démontré à la page 229 du IX.e volume du présent recueil, généralisé à la pag. 270 du XIII.e vol., et reproduit postérieurement comme sien, avec les mêmes notations, par M. le professeur J. Wallace, de Colombie (Americ. Journ. of sciences, fév. 1824, p. 278).
J. D. G.