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res, l’une des plus remarquables est celle qui fournit la valeur de l’intégrale

$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x,$

lorsque la fonction $\operatorname {f} (x+y{\sqrt {-1}})$ s’évanouit 1.^o pour $x=\pm \infty ,$ quel que soit $y\,;$ 2.^o pour $y=\infty ,$ quel que soit $x$ et que d’ailleurs cette fonction conserve une valeur unique et déterminée, pour toutes les valeurs de $x$ et de $y$ renfermées entre les limites

$x=-\infty ,\quad x=+\infty ,\quad y=0,\quad x=\infty .$

Si, après avoir cherché les racines réelles ou imaginaires ds l’équation

(1)$\qquad \qquad {\frac {1}{\operatorname {f} (x)}}=0,$

on désigne par $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ celles de ces racines dans lesquelles le coefficient des ${\sqrt {-1}}$ est positif, et par $\operatorname {f} _{1},\operatorname {f} _{2},\operatorname {f} _{3},\ldots$ les valeurs que reçoivent les produits

$\varepsilon \operatorname {f} (x_{1}+\varepsilon ),\qquad \varepsilon \operatorname {f} (x_{2}+\varepsilon ),\qquad \varepsilon \operatorname {f} (x_{3}+\varepsilon ),\ldots$

lorsque $\varepsilon$ se réduit à zéro ; alors en posant

(2)$\qquad \Delta =2\varpi \left(\operatorname {f} _{1},\operatorname {f} _{2},\operatorname {f} _{3},\ldots \right){\sqrt {-1}}\qquad$^[1]

on trouvera

(3)$\qquad \qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=\Delta .\qquad$^[2]

1. Résumé, pag. 135, formule (13).
2. Résumé, pag. 136, formule (14).