obtiendra, en général, une valeur finie pour
et si, entre les racines de l’équation
(12)
![{\displaystyle \qquad \qquad {\frac {\operatorname {f} }{\operatorname {f} (x)}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291b22a993fc78542fcc55b8f66158fed9035aca)
la racine
est la seule dans laquelle le coefficient de
soit positif, cette différence remplira les conditions énoncées dans le théorème. On pourra donc prendre
(13)
![{\displaystyle \qquad \varphi (x)={\frac {\operatorname {f} _{1}}{x-x_{1}}}={\frac {\operatorname {f} _{1}}{x-a-b{\sqrt {-1}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6fab0cb2f0a8c5fa014489d6d50ee37221cf0e3)
Cela posé, on trouve 1.o
(14)
![{\displaystyle \qquad \qquad \Phi =\operatorname {f} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e208eff39014b3180e76ad7e8b950c931c870ab)
2.o si
est nul
(15)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x=\operatorname {f} _{1}\operatorname {Sin} .\int _{-X}^{+X}{\frac {\operatorname {f} _{1}.\operatorname {d} x}{x-a}}=\operatorname {f} _{1}.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}l\left({\frac {X-a}{X+a}}\right)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6b724d268fbaadbd09e9defaa9f0b7e4c00de2)
et, si
est positif
(16)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x=\operatorname {Sin} .\int _{-X}^{+X}{\frac {\operatorname {f} _{1}.\operatorname {d} x}{x-a-b{\sqrt {-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024b572774c3fca1835c741d723cc8bffe71150e)
![{\displaystyle =\operatorname {f} _{1}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {b{\sqrt {-1}}.\operatorname {d} x}{(x-a)^{2}+b^{2}}}=\varpi \operatorname {f} _{1}{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af389a27680a4ff0201a244057bd4780887a199)
Par suite, l’équation (10) donnera, si
est nul,
(17)
![{\displaystyle \qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=\varpi \operatorname {f} _{1}.{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a09afe82606dc39bdc27a4d9d20cb802240b8a)
et, si
est positif
(18)
![{\displaystyle \qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=2\varpi \operatorname {f} _{1}.{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e05d6f0de34dcf51b53a6c62ad2da0faf4b38a2)