Si
devenait négatif, on devrait prendre
et l’on aurait, en conséquence,
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3377e6603f6c03bf133b4011bcfca85d4f2286)
Pour établir les formules (17) et (18), nous avons supposé que le produit
(20)
![{\displaystyle \qquad \qquad \left(x-x_{1}\right)\operatorname {f} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd491d5590e45cf9d9c0d7f289ba17228194d31)
convergeait vers une limite finie
tandis que le facteur
s’approchait indéfiniment de zéro. Supposons maintenant que le produit (20) ait une limite infinie, et que, dans la suite
![{\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\operatorname {f} (x),\quad \left(x-x_{1}\right)^{2}\operatorname {f} (x),\quad \left(x-x_{1}\right)^{3}\operatorname {f} (x),\ldots \left(x-x_{1}\right)^{m}\operatorname {f} (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283e1509dc2e4dd6fb15768aa0a4e97adb2c3ebf)
le terme
(21)
![{\displaystyle \qquad \qquad \left(x-x_{1}\right)^{m}\operatorname {f} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737864753b1dce5fd24c2cf5306e817d6f7a5879)
soit le premier qui ait une limite finie. Alors, si l’on pose
(22)
![{\displaystyle \qquad \left(x-x_{1}\right)^{m}\operatorname {f} (x)=f(x)=f\left(x_{1}\right)+{\frac {x-x_{1}}{1}}f'\left(x_{1}\right)+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a364fd8567d8265e244eca495b84f5dc87fe557f)
![{\displaystyle \ldots +{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{m-1}}{12.\ldots (m-1)}}f^{(m-1)}\left(x_{1}\right)+\left(x-x_{1}\right)^{m}\psi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c1d7bf868b9efcc9390134b93a4789c574b122)
la fonction
conservera, en général, une valeur finie pour
et remplira la condition énoncée dans le théorème. Comme on aura d’ailleurs
![{\displaystyle \psi (x)=\operatorname {f} (x)-{\frac {f'\left(x_{1}\right)}{1}}{\frac {1}{\left(x-x_{1}\right)^{m-1}}}-{\frac {f''\left(x_{1}\right)}{1.2}}{\frac {1}{\left(x-x_{1}\right)^{m-2}}}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404a74ce3e9a29144fd207a0bd97a332fdb3cafb)
![{\displaystyle \ldots -{\frac {f^{(m-1)}\left(x_{1}\right)}{1.2.\ldots (m-1)}}.{\frac {1}{x-x_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6983f21906f25f71900376f917968ef97e56556)
il est clair qu’on pourra prendre