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$\operatorname {f} (a,b,c)=\mathrm {S} =0,\qquad \operatorname {f} (a',b',c')=\mathrm {\mathrm {S} } =0.$

Soient faits, pour abréger

$\operatorname {d} c=p\operatorname {d} a+q\operatorname {d} b,\qquad \operatorname {d} c'=p'\operatorname {d} a'+q'\operatorname {d} b'.$

En représentant par $X,Y,Z$ les coordonnées courantes, nous aurons pour les équations

1.^o du rayon incident$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left\{{\begin{aligned}&X-a={\frac {a-a'}{c-c'}}(Z-c),\\\\&Y-b={\frac {b-b'}{c-c'}}(Z-c)\,;\end{aligned}}\right.$

2.^o de la normale au point d’incidence $\,\left\{{\begin{aligned}&X-a=-p(Z-c),\\\\&Y-b=-q(Z-c)\,;\end{aligned}}\right.$

3.^o du rayon réfracté$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left\{{\begin{aligned}&X-a={\frac {x-a}{z-c}}(Z-c),\\\\&Y-b={\frac {y-b}{z-c}}(Z-c)\,;\end{aligned}}\right.$

Il faudra d’abord exprimer que ces trois droites sont dans un même plan passant par le point $(a,b,c)$ ce qui donnera

$\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}=$

$\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}\quad$(1)

Les cosinus des angles d’incidence et de réfraction seront respectirement

${\frac {p(a-a')+q(b-b')-(c-c')}{\sqrt {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}}}},$