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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} a}}\right){\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} c}}\right){\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a'}}=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} a'}}\right)+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} c'}}\right){\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} a'}}=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} a}}\right){\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} b'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} b'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} c}}\right){\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b'}}=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} b'}}\right)+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} c'}}\right){\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} b'}}=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} a}}\right){\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} c}}\right){\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a'}}$

$+\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} a'}}\right)+\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} c'}}\right){\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} a'}}=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} a}}\right){\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} b'}}+\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} b'}}+\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} c}}\right){\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b'}}$

$+\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} b'}}\right)+\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} c'}}\right){\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} b'}}=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} a}}\right){\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} a'}}+\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} c}}\right){\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} a'}}$

$+\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} a'}}\right)+\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} c'}}\right){\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} a'}}=0,$

$\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} a}}\right){\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} b'}}+\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} b}}\right){\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} b'}}+\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} c}}\right){\frac {\operatorname {d} c}{\operatorname {d} b'}}$

$+\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} b'}}\right)+\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} c'}}\right){\frac {\operatorname {d} c'}{\operatorname {d} b'}}=0.$

Ce cas est précisément celui que nous allons rencontrer dans ce qui va suivre.

Soit $\mathrm {S}$ une surface quelconque, séparant deux milieux homogènes, d’un pouvoir réfringent inégal. Soit une autre surface $\mathrm {S} ',$ située dans l’un de ces milieux, et de chacun des points de laquelle émanent des rayons incidens, dans des directions qui lui sont respectivement normales en ces points. Considérons, en particulier, le rayon incident qui émane du point $(a',b',c')$ de cette surface rayonnante ; et soit $(a,b,c)$ son point d’incidence sur la surface séparatrice. Soit enfin $(x,y,z)$ un quelconque des points du rayon réfracté.

Les trois, coordonnées $a,b,c,$ ainsi que les trois coordonnées $a',b',c',$ doivent être liées entre elles par des équations de relation que nous représenterons respectivement par