tie commune, leur centre radical, situé alors dans cette partie commune, leur étant ainsi intérieur à tous trois, il n’est plus possible de leur mener des tangentes de ce centre ; aucun cercle ne peut donc les couper tous trois orthogonalement, et par suite il n’est aucun point de leur plan dont les trois polaires concourent en un même point.
Ce qui précède résout complètement le problème III de la page 68 du XI.e volume des Annales, et prouve en outre que le premier des quatre problèmes proposés en cet endroit est impossible ou indéterminé. On demande en effet, dans l’énoncé de ce problème, de trouver le point du plan de quatre cercles dont les polaires, relatives à ces quatre cercles, concourent en un même point. Or, s’il existe un tel point, en le joignant au point de concours des quatre polaires par une droite, le milieu de cette droite devra, par ce qui précède, être le centre radical de chacun des quatre systèmes de trois cercles que l’on peut former avec les quatre cercles donnés. Le problème ne sera donc possible qu’autant que ces quatre cercles seront tels que, pris trois à trois comme on le voudra, ils auront un seul et même centre radical ; c’est à-dire, qu’autant qu’ils pourront être coupés orthogonalement par un cinquième cercle, dont alors tous les points résoudront le problème.
THÉORÈME II. La surface de la sphère dont le centre est le centre radical de quatre sphères données et qui a pour rayon la tangente menée de ce point à l’une quelconque de ces quatre sphères, est à la fois le lieu géométrique des points de l’espace dont les plans polaires, relatifs à ces quatre sphères concourent en un même point, et le lieu géométrique du point de concours des quatre plans polaires ; et ces deux points sont constamment aux extrémités d’un même diamètre de cette sphère.
Démonstration. Désignons par tant les centres des quatre sphères dont il s’agit que ces sphères elles-mêmes. Soient pareillement désignés par tant leur centre radical que la sphère
