décrite de ce centre et d’un rayon égal à la tangente menée dit même point à l’une quelconque des quatre sphères données. Par l’un quelconque des points de la surface de la sphère soient menés le diamètre et les droites perçant de nouveau la sphère en comme, par construction, cette sphère coupe les quatre autres orthogonalement, il s’ensuit (Lemme II) que, si l’on conduit, par les droites des plans respectivement perpendiculaires à ces plans seront les plans polaires respectifs du point par rapport aux sphères ces plans concourent donc, en effet, en un même point extrémité du diamètre conduit par
Ici encore on démontrera que les propriétés que nous venons de reconnaître appartenir aux points de la surface de la sphère leur appartient exclusivement. Si, en effet, un point de l’espace n’est pas sur cette surface, on pourra toujours par ce point faire passer quatre sphères qui coupent orthogonalement trois des sphères données. Menant alors dans ces sphères les diamètres on prouvera, en raisonnant comme ci-dessus, que les quatre plans polaires de par rapport à concourent trois à trois aux points et, que conséquemment ils ne concourent pas tous quatre en un même point.
Si les quatre sphères se coupent de manière à avoir une partie qui leur soit commune à toutes, leur centre radical, situé alors dans cette partie commune, leur étant ainsi intérieur à toutes quatre, il ne sera plus possible de leur mener des tangentes de ce centre ; aucune sphère ne pourra donc les couper toutes quatre orthogonalement, et par suite, il n’y aura aucun point de l’espace dont les quatre plans polaires concourent en un même point.
Ce qui précède résout complètement le problème où l’on proposerait de déterminer le lieu géométrique des points de l’espace dont les plans polaires, relatifs à quatre sphères données, coucou-
