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Cela posé, on sait, comme nous l’avons déjà observé (pag. 41), que $z$ étant un angle quelconque et $p$ un nombre entier positif quelconque, on a

$\operatorname {Cos} .^{p}z={\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .pz+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .(p-2)z+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.\operatorname {Cos} .(p-4)z+\ldots \right\},$

pourvu qu’on arrête le développement dès qu’on ne rencontrera plus d’arcs positifs, et que, lorsque $p$ sera pair, on ne prenne que la moitié du terme qui contiendra l’arc nul.

Mettant successivement pour $z,$ dans cette formule, les termes de la progression, progression, $a,a+x,a+2x,\ldots a+{\overline {n-1}}.x,$ on aura

$\operatorname {Cos} .^{p}a={\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .pa+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .(p-2)a+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.\operatorname {Cos} .(p-4)a+\ldots \right\},$

$\operatorname {Cos} .^{p}(a+x)={\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .p(a+x)+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .(p-2)(a+x)+\ldots \right\},$

$\operatorname {Cos} .^{p}(a+2x)={\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .p(a+2x)+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .(p-2)(a+2x)+\ldots \right\}\,;$

 

$\operatorname {Cos} .^{p}(a+{\overline {n-1}}x)=$

${\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .p(a+{\overline {n-1}}x)+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .(p-2)(a+{\overline {n-1}}x)+\ldots \right\}\,;$

ce qui donnera, en ajoutant,

$\operatorname {Cos} .^{p}a+\operatorname {Cos} .^{p}(a+x)+\operatorname {Cos} .^{p}(a+2x)+\ldots +\operatorname {Cos} .^{p}(a+{\overline {n-1}}.x)$

$={\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{{\begin{array}{l}&\quad \operatorname {Cos} .pa+\operatorname {Cos} .p(a+x)+\operatorname {Cos} .p(a+2x)+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \ldots +\operatorname {Cos} .p(a+{\overline {n-1}}.x)\\&+{\frac {p}{1}}\left\{\operatorname {Cos} .(p-2)a+\operatorname {Cos} .(p-2)(a+x)+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\ldots +\operatorname {Cos} .(p-2)(a+{\overline {n-1}}.x)\right\}\\&+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}\left\{\operatorname {Cos} .(p-4)a+\operatorname {Cos} .(p-4)(a+x)+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\ldots +\operatorname {Cos} .(p-4)(a+{\overline {n-1}}.x)\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}\right\}$