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$1+\operatorname {Cos} .mx+\operatorname {Cos} .2mx+\operatorname {Cos} .3mx+\ldots +\operatorname {Cos} .(n-1)mx=0,$(A)

$1+\operatorname {Sin} .mx+\operatorname {Sin} .2mx+\operatorname {Sin} .3mx+\ldots +\operatorname {Sin} .(n-1)mx=0,$(B)

Ces équations ont lieu également lorsque $m$ est plus grand que $n$, pourvu qu’il n’en soit pas multiple. Si, en effet, on poses $m=qn+m',s$ où on ait $m'<m$ ; en substituant dans les premiers membres des équations (A) et (B), et observant que généralement

$\operatorname {Cos} .\lambda (qn+m')x=\operatorname {Cos} .(2\lambda q\varpi +\lambda m'x)=\operatorname {Cos} .\lambda m'x,$

$\operatorname {Sin} .\lambda (qn+m')x=\operatorname {Sin} .(2\lambda q\varpi +\lambda m'x)=\operatorname {Sin} .\lambda m'x\,;$

ces premiers membres deviendront

$1+\operatorname {Cos} .m'x+\operatorname {Cos} .2m'x+\operatorname {Cos} .3m'x+\ldots +\operatorname {Cos} .(n-1)m'x,$

$1+\operatorname {Sin} .m'x+\operatorname {Sin} .2m'x+\operatorname {Sin} .3m'x+\ldots +\operatorname {Sin} .(n-1)m'x\,;$

et seront nuls, par ce qui précède.

En désignant toujours par $x$ l’angle au centre d’un polygone régulier de $n$ côtés et par $a$ un angle quelconque ; $m$ étant un nombre entier positif, non multiple de $n$, on trouvera en développant

$\operatorname {Cos} .ma+\operatorname {Cos} .m(a+x)+\operatorname {Cos} .m(a+2x)+\ldots +\operatorname {Cos} .m(a+{\overline {n-1}}.x)$

$=\left\{1+\operatorname {Cos} .mx+\operatorname {Cos} .2mx+\operatorname {Cos} .3mx+\ldots +\operatorname {Cos} .(n-1)mx\right\}\operatorname {Cos} .ma$

$-\left\{1+\operatorname {Sin} .mx+\operatorname {Sin} .2mx+\operatorname {Sin} .3mx+\ldots +\operatorname {Sin} .(n-1)mx\right\}\operatorname {Sin} .ma\,;$

c’est-à-dire en vertu des formules (A), (B)

$\operatorname {Cos} .ma+\operatorname {Cos} .m(a+x)+\operatorname {Cos} .m(a+2x)+\ldots +\operatorname {Cos} .m(a+{\overline {n-1}}.x)=0.\ (\mathrm {C} )$