lygone, comme M. Sturm l’avait déjà remarqué (tom. XV, pag. 256).
Si le point
coïncide avec l’un des sommets du polygone, deux des droites
en sont des côtés et les autres sont des diagonales ; mais alors
en désignant donc par
l’un des côtés du polygone et par
les diagonales menées d’un sommet à tous les autres, on aura
![{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+\ldots +d_{n-3}^{2}+2c^{2}=2nr^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d34ac9fe3fb6d258a0feda55a76f4836a216b5e)
d’où
![{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+\ldots +d_{n-3}^{2}=a\left(2nr^{2}-c^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b928fba34a671ec03a2e3d176472fb6ed20ed1)
Si, par exemple, il s’agit de l’hexagone régulier, ou
et
on aura
![{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}=10r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba0fee60d21a37408ec888a7eccaf14edf76dcc)
mais ici, l’on a
et
; donc
![{\displaystyle 2d_{1}^{2}+4r^{2}=10r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32af83d950e4e0c6cafdcab28b3f16fad1800281)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad d_{1}^{2}=3r^{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9405e6656539ac432bb91d053e1865e567f942)
et
![{\displaystyle \quad d_{1}=r{\sqrt {3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504c3398d5459b316791cbce8323adb09d3c2029)
comme on doit l’avoir en effet.
THÉORÈME. Un polygone quelconque étant circonscrit à un cercle, et un autre cercle étant concentrique à celui-là la somme des produits des côtés du polygone par les quarrés des distances d’un point quelconque de la circonférence du second cercle aux points de contact de ces côtés avec le premier, est une quantité constante.
Démonstration. Soit
le centre commun des deux cercles ; soit
le rayon de celui auquel le polygone est circonscrit, et soit
le rayon de l’autre. Représentons par
les côtés consécutifs du polygone ; et désignons leurs points de contact par