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$\mathrm {B,C} ,\ldots .$ Soit enfin, un point pris arbitrairement sur la circonférence dont le rayon est $R\,;$ et représentons respectivement par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les angles $\mathrm {POA,POB,POC} ,\ldots$ parce que les angles qui ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux, les angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ seront aussi ceux que feraient les côtés $a,b,c,\ldots$ du polygone avec une perpendiculaire indéfinie menée à $\mathrm {OP,}$ par le point $\mathrm {O} ,$ de sorte qu’on aura, par un théorème connu^[1].

$a\operatorname {Cos} .\alpha +b\operatorname {Cos} .\beta +c\operatorname {Cos} .\gamma +\ldots =0.\qquad$(1)

Cela posé, les triangles $\mathrm {POA,POB,POC} ,\ldots$ donnent

${\begin{aligned}&{\overline {\mathrm {PA} }}^{2}=R^{2}+r^{2}-2rR\operatorname {Cos} .\alpha ,\\&{\overline {\mathrm {PB} }}^{2}=R^{2}+r^{2}-2rR\operatorname {Cos} .\beta ,\\&{\overline {\mathrm {PC} }}^{2}=R^{2}+r^{2}-2rR\operatorname {Cos} .\gamma ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Prenant la somme des produits respectifs de ces équations par $a,b,c,\ldots$ et ayant égard à la relation (1), il viendra

${\overline {\mathrm {PA} }}^{2}.a+{\overline {\mathrm {PB} }}^{2}.b+{\overline {\mathrm {PC} }}^{2}.c+\ldots =\left(R^{2}+r^{2}\right)(a+b+c+\ldots ),\quad$(2)

équation dont le second membre est indépendant du point $\mathrm {P} ,$ sur la circonférence dont le rayon est $R,$ comme l’annonce le théorème qui se trouve ainsi démontré.

Si le polygone était régulier, en représentant par $n$ le nombre de ses côtés, l’équation (2) deviendrait

1. Voyez, entre autres, la pag. 310 du XV.^e volume du présent recueil.
   J. D. G.