lant que, d’après la définition de la variation, semblable à celle de la différentielle,
![{\displaystyle \delta .uv=v\delta u+u\delta v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476bfe0ff396fab9b1970f10175c67b13cb1d24f)
nous aurons
![{\displaystyle \delta \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\delta {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1eb0fbb68218e929c66f32e71d833cfdc27639)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \delta \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c470a79faace12fd136a6adeee37f80f3b33b09)
Mais, d’un autre côté
![{\displaystyle \delta y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db6c1be9d945adedbe957c7c91f412be0d13e70)
En différentiant cette dernière équation et observant que, puisque la différentielle se prend le long de la courbe, en ne faisant varier que
et
il s’ensuit que
doivent ici être considérées comme des constantes, on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} \delta x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}}\delta b+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4998dbfe3a4ddf9b3c3827603e2e7066c3249ce1)
En comparant entre eux les développemens de
et de
en observant que, d’après ce qui a été prouvé ci-dessus,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta \operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63c85d78e41e8ca7ca5e5ec0e82bac6005e4937)
et que d’ailleurs, parce que l’ordre des différentiations est indifférent,