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${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}},\ldots$

on verra que ces deux développemens sont égaux, et qu’ainsi

$\operatorname {d} \delta y=\delta \operatorname {d} y.$

On peut tirer de ceci une conclusion semblable, par rapport au signe d’intégration. Soit, en effet

$\int v\operatorname {d} x=u,\quad$d’où$\quad v\operatorname {d} x=\operatorname {d} u,$

donc

$\delta .v\operatorname {d} x=\delta \operatorname {d} u=\operatorname {d} \delta u\,;$

d’où, en intégrant

$\int \delta .v\operatorname {d} x=\delta u=\delta \int v\operatorname {d} x.$

Ainsi, on peut intervertir l’ordre des signes $\int$ et $\delta .$

La courbe $\mathrm {AB}$ ayant été transportée sur $\mathrm {A'B'}$ (fig. 3), de manière que les points $\mathrm {M}$ et $m$ soient venus en $\mathrm {M} '$ et $m'\,;$ si nous menons les tangentes $\mathrm {MT}$ et $\mathrm {MS,}$ aux courbes $\mathrm {MB}$ et $\mathrm {MM'} \,;$ il est clair, d’après la définition que nous avons donnée de $\delta y,$ qui est, du reste,

$\delta y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots \,;$

il est clair, disons nous, que $\delta y=\mathrm {SQ} \,;$ puisque ce doit être la partie de $\mathrm {M'Q}$ qui ne contient pas les termes infiniment petits par rapport aux premiers. Mais, si l’on suppose que la position $\mathrm {A'B'}$ soit infiniment voisine de la position $\mathrm {AB} ,$ on aura, à la limite,