Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/145

D’un autre côté, $p={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ étant une fonction de $x,a,b,\ldots$ on a

$\delta p={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots \,;$

en se rappelant donc que

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=q,$

et qu’en outre

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} a}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x\operatorname {d} b}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}},\ldots$

on trouve

$\delta p=q\delta x+{\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}.$

On trouvera de même

$\delta q=r\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}}$

. . . . . . . . .

d’où l’on voit que

$\omega '={\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}},\qquad \omega ''={\frac {\operatorname {d} ^{2}\omega }{\operatorname {d} x^{2}}},\ldots$^[1]

1. Il est essentiel de remarquer que $a',b',\ldots ,$ étant de nouvelles valeurs de $a,b,\ldots ,$ sont constantes, dans les différentiations relatives à $\operatorname {d} \,;$ et que $\delta a=a'-a,$$\delta b=b'-b,\ldots \,;$ parce que, dans les différentiations relatives à $\delta ,$ les quantités $a,b,\ldots$ sont, dans la fonction, $y=\operatorname {f} (x,a,b,\ldots )$ et dans ses dérivées, des variables indépendantes, pour lesquelles les différentielles marquées par $\delta a,\delta b,\ldots$ sont la même chose que les différences entières représentées par $a'-a,\ b'-b,\ldots$