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Enfin si $\mathrm {V}$ est une fonction de $x,y,p,q,\ldots \,;$ comme on peut toujours exprimer $y,p,q,\ldots$ en fonction de $x$ seul, et par conséquent $\mathrm {V}$ aussi ; on aura de même

$\delta \mathrm {V} =\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} x}}\right]\delta x+\Omega \,;$

où $\left[{\frac {\operatorname {d} \mathrm {V} }{\operatorname {d} x}}\right]$ représente la différentielle de $\mathrm {V}$ par rapport aux $x$ non seulement en évidence, mais même contenus dans $y,p,q,\ldots .$

Il existe des relations remarquables entre ces $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots \Omega .$

Soit, en effet, comme ci-dessus

$y=\operatorname {f} (x,a,b,c,\ldots )\quad$et$\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=p,$

d’où

$\delta y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots$

et

$\omega =\delta y-p\delta x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}\delta b+\ldots$

On entend par ${\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}$ la dérivée de cette fonction de $x,a,b,\ldots \delta a,\delta b,\ldots$ en n’y faisant varier que $x,$ parce que

$\delta a=a'-a,\qquad \delta b=b'-b,\ldots$

sont constantes, quand $a,b,\ldots a',b',\ldots$ le sont. Ainsi

${\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a\operatorname {d} x}}\delta a+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b\operatorname {d} x}}\delta b+\ldots .$